大连市2022～2023学年第一学期期末考试高二数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

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题号:3869 题型:填空题来源:大连市2022～2023学年第一学期期末考试高二数学入库日期 2023/1/5 8:01:13

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\sqrt{3} x$, 则 $C$ 的离心率为

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【答案】 2

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已知函数 $f(x)=e^{x}\left(x^{2}+m x+m^{2}\right), g(x)=a x^{2}+x+a x \ln x$. (1) 若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取极小值, 求实数 $m$ 的值; (2) 设 $m=0$, 若对任意 $x \in(0,+\infty)$, 不等式 $f(x) \geq g(x)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的值.

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已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上顶点为 $A$, 钝角三角形 $A F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 当直线 $l$ 经过 $F_1, A$ 两点时, 点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$. (1)求椭圆 $C$ 的标准方程; (2) 设 $O$ 为坐标原点, 当直线 $l$ 的纵截距不为零时, 试问是否存在实数 $k$, 使得 $|\overrightarrow{P Q}|^2+$ $2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值? 若存在, 求出此时 $\triangle O P Q$ 面积的最大值; 若不存在, 请说明理由.

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已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$. 请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题. ① $b=\sqrt{3}$; ②离心率为 2; ③与椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的焦点相同. (1) 求 $C$ 的方程; (2) 直线 $l: y=x-3$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|A B|$ 的值. 注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.