在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B=A A_1=1$, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_1}$, 其中 $\lambda \in[0,1]$, $\mu \in[0,1]$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lambda=1$ 时, $A P+P B_1$ 的最小值为 $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ 当 $\mu=1$ 时, 三棱雉 $P-A_1 A B$ 的体积为定值
$\text{C.}$ 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时, 存在两个点 $P$, 使得 $A_1 P \perp B P$
$\text{D.}$ 当 $\mu=\frac{1}{2}$ 时, 有且仅有一个点 $P$, 使得 $A_1 B \perp$ 平面 $A B_1 P$