已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，其中 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，且 $f(x)+g(x)=2^{x+1}$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式，并判断 $f(x)$ 的单调性（单调性直接写结论即可）；
（2）若 $x \in[1,2]$ 时，不等式 $f(2 t x-1)+f\left(x^2\right) \geqslant 0$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围；
（3）设 $F(x)=g^2(x)-2 f(x)-4, H(x)=x^2-2 m x+m$ ，对任意的 $x_1 \in[1,2]$ ，总存在 $x_2 \in[-1,1]$ ，使得 $H\left(x_1\right)=F\left(x_2\right)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．