已知函数 $f(x)=|x-1|-|x+2|$.
(1) 求不等式 $f(x) < 2 x$ 的解集;
(2) 记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M$. 若正实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+4 c=\frac{1}{3} M$, 求证: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 16$.
【答案】 解:(1) $f(x)=|x-1|-|x+2| < 2 x$
$$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ x \geq 1 } \\
{ - 3 < 2 x }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array} { l }
{ - 2 < x < 1 } \\
{ - 1 - 2 x < 2 x }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x \leq-2 \\
3 < 2 x
\end{array}\right.\right.\right. \text {. }
$$
$$
\Leftrightarrow x \in\left(-\frac{1}{4},+\infty\right) \text {. }
$$
(2)
$$
f(x)=|x-1|-|x+2|= \begin{cases}-3 & x \geq 1 \\ -1-2 x & -2 < x < 1 \\ 3 & x \leq-2\end{cases}
$$
所以函数 $f(x)$ 的最大值为 $M=3$.
已知正实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+4 c=\frac{1}{3} M=1$
由柯西不等式得

$$
\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right] \cdot\left[(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+(2 \sqrt{c})^2\right] \geq\left(\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{b}} \cdot \sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{c}} \cdot 2 \sqrt{c}\right)^2=16
$$
9 分
当且仅当 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\frac{1}{a}}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{\frac{1}{b}}}=\frac{2 \sqrt{c}}{\sqrt{\frac{1}{c}}}$ 时, 即 $a=b=2 c$ 时, 又 $a+b+4 c=1$.
所以当且仅当 $a=\frac{1}{4}, b=\frac{1}{4}, c=\frac{1}{8}$ 时, 等号成立.


系统推荐