在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $\mathrm{C}$ 满足参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$ ~$\alpha$ 为 参数, $\alpha \in[-\pi, 0]$ ). 以坐标原点为极点, $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 $l$ 的 极坐标方程为 $\rho \cos \theta+\rho \sin \theta-m=0$.
(1) 求曲线 $\mathrm{C}$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程;
(2) 若直线 $l$ 与曲线 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 求实数 $m$ 的值.
【答案】 22. 解: (1) 因为曲线 C 满足参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数, $\alpha \in[-\pi, 0]$ )
所以曲线 C 的直角坐标方程为: $x^2+y^2=4,(y \leq 0)$
因为直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta+\rho \sin \theta-m=0$. 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta\end{array}\right.$
得直线 $l$ 直角坐标方程为 $x+y-m=0$.
(2) 方法一:
因为直线 $l$ 与曲线 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$
所以 $\cos \angle A O B=\frac{\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}}{|\overrightarrow{O A}| \cdot|\overrightarrow{O B}|}=\frac{1}{2}$.
记 $O$ 到 $l$ 的距离为 $d$. 则
$d=\frac{|m|}{\sqrt{2}}=2 \sin \frac{\pi}{3}$

又 $_{m < 0}$.
所以 $m=-\sqrt{6}$
方法二: 已知 $O(0,0)$, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$.
则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_1 x_2+y_1 y_2=x_1 x_2+\left(m-x_1\right) \cdot\left(m-x_2\right)=2 x_1 x_2-m\left(x_1+x_2\right)+m^2=2$.
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4 \\
x+y-m=0
\end{array}\right.
$$
得 $2 x^2-2 m x+m^2-4=0$
$$
\left\{\begin{array}{l}
\Delta > 0 \\
x_1+x_2=m < 0 \\
x_1 \cdot x_2=\frac{m^2-4}{2}
\end{array}\right.
$$
所以 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\left(m^2-4\right)-m^2+m^2=2$
所以 $m=-\sqrt{6}$ 或 $m=\sqrt{6}$ (舍去)
综上: $m=-\sqrt{6}$.


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