已知函数 $f(x)=x \ln x-x-\frac{a x^2}{2}+1(a \in \mathbf{R})$.
(1)当 $a=1$ 时, 求 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 若函数 $f(x)$ 有两个不同的极值点 $x_1, x_2$. 求证: $x_1 x_2 < \frac{1}{a^2}$.
【答案】 21.(1)解: $f(x)=x \ln x-x-\frac{a x^2}{2}+1(x > 0, a \in \mathbf{R})$
当 $a=1$ 时, $f(x)=x \ln x-x-\frac{x^2}{2}+1(x > 0)$
因为 $f^{\prime}(x)=\ln x-x(x > 0), f(1)=-\frac{1}{2}, \quad f^{\prime}(1)=-1$
所以 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程为: $y+\frac{1}{2}=-(x-1)$.
即 $2 x+2 y-1=0$.
(2) 由 $f(x)=x \ln x-x-\frac{a x^2}{2}+1(x > 0, a \in \mathbf{R})$
得 $f^{\prime}(x)=\ln x-a x(x > 0)$
因为函数 $f(x)$ 有两个不同的极值点 $x_1, x_2$.
所以 $f^{\prime}(x)=\ln x-a x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 有两个不同的变号零点 $x_1, x_2$. 不妨设 $0 < x_1 < x_2$.
由于 $\left\{\begin{array}{l}\ln x_1-a x_1=0 \\ \ln x_2-a x_2=0\end{array}\right.$, 得 $\ln \frac{x_2}{x_1}=a\left(x_2-x_1\right)$, 则 $\frac{1}{a}=\frac{\left(x_2-x_1\right)}{\ln \frac{x_2}{x_1}} > 0$

要证: $x_1 x_2 < \frac{1}{a^2}$
只需证: $x_1 x_2 < \left(\frac{x_2-x_1}{\ln \frac{x_2}{x_1}}\right)^2$
只需证: $\sqrt{x_1 x_2} < \frac{x_2-x_1}{\ln \frac{x_2}{x_1}}$
只需证: $\ln \frac{x_2}{x_1} < \frac{x_2-x_1}{\sqrt{x_1 x_2}}=\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}-\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}$..
令 $\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=t$, 则 $t > 1$, 只需证: $2 \ln t < t-\frac{1}{t} \ldots$
构造函数 $h(t)=2 \ln t-t+\frac{1}{t},(t > 1)$.
因为 $h^{\prime}(t)=\frac{2}{t}-1-\frac{1}{t^2}=-\frac{(t-1)^2}{t^2} < 0$,
所以 $h(t)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递减
因为 $t > 1$, 所以 $h(t) < h(1)=0$.
故原不等式成立


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