已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}, x \geq 1\right\}$,
(I) 求 D 的面积.
(II) 求 D 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.
【答案】 (I ) 由题设条件可知:
$$
S=\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}} d x=\int_1^{+\infty} \frac{x}{x^2 \sqrt{1+x^2}} d x \stackrel{\sqrt{1+x^2}=1}{=} \int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \frac{t}{\left(t^2-1\right) t} d t=\left.\frac{1}{2} \ln \frac{t-1}{t+1}\right|_{\sqrt{2}} ^{+\infty}=\ln (\sqrt{2}+1) \text {; }
$$
( II ) 旋转体体积 $V=\int_1^{+\infty} \pi y^2 d x=\pi \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2(1+x)^2} d x=\pi \int_1^{+\infty}\left[\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1+x)^2}\right] d x=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)$.


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