小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后, 进一步开展探究活 动): 将一个矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ} < \alpha \leqslant 90^{\circ}\right)$, 得到矩形 $A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 连结 $B D$. [探究 2] 如图 2, 连结 $A C^{\prime \prime}$, 过点 $D^{\prime}$ 作 $D^{\prime} M / / A C^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$. 线段 $D^{\prime} M$ 与 $D M$ 相等吗? 请说明理由.
[探究 3] 在探究 2 的条件下, 射线 $D B$ 分别交 $A D^{\prime}, A C^{\prime}$ 于点 $P, N$ (如图 3), 发现线段 $D N$, $M N, P N$ 存在一定的数量关系, 请写出这个关系式, 并加以证明.