已知函数 $f(x)=|x-1|+|x-a|$
(1) 若函数 $f(x)$ 的值域为 $[2,+\infty)$, 求实数 $a$ 的值;
(2) 若 $f(2-a) \geqslant f(2)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
【答案】 (1) $\because$ 函数 $f(x)=|x-1|+|x-a| \geqslant$ $|x-1-(x-a)|=|a-1|,$ 当 $(x-1)(x-a) \leqslant 0$ 时, 等号成立, $\therefore|a-1|=2$, 解得 $a=3$ 或 $a=-1$.

(2) 由 $f(2-a) \geqslant f(2)$, 可得 $3|a-1|-$ $|a-2| \geqslant 1$,
则 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant 1 \\ 3(1-a)-(2-a) \geqslant 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}1 < a \leqslant 2 \\ 3(a-1)-(2-a) \geqslant 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a > 2 \\ 3(a-1)-(a-2) \geqslant 1\end{array}, \right.$ 分 解得: $a \leqslant 0$ 或 $\frac{3}{2} \leqslant a \leqslant 2$ 或 $a > 2 $

综上, $a$ 的范围是: $(-\infty, 0] \cup\left[\frac{3}{2},+\infty\right)$.


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