在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t}{2} \\ y=3-t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $4 \rho^2-3 \rho^2 \cos ^2 \theta=4$.
(1) 写出曲线 $C_1$ 的普通方程和曲线 $C_2$ 的直角坐标方程;
(2) 已知点 $P$ 是曲线 $C_2$ 上的动点. 求点 $P$ 到曲线 $C_1$ 距离的最大值.
【答案】 (1) 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t}{2} \\ y=3-t\end{array}\right.$
( $t$ 为参数),
消去参数可得曲线 $C_1$ 的普通方程为 $y=3-$ $2 x$, 即 $C_1: 2 x+y-3=0 . \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 2$ 分 将 $\rho^2=x^2+y^2, \rho \cos \theta=x$ 代人曲线 $C_2$ 的极 坐标方程 $4 \rho^2-3 \rho^2 \cos ^2 \theta=4$ 中,
可得 $4\left(x^2+y^2\right)-3 x^2=4$,
即 $C_2: \frac{x^2}{4}+y^2=1$.

(2) $\because P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上, $\therefore$ 可 设 $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$,
$P$ 到直线 $2 x+y-3=0$ 的距离为 $d=$ $\frac{|4 \cos \theta+\sin \theta-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|\sqrt{17} \sin (\theta+\varphi)-3|}{\sqrt{5}}, $

$$
\begin{gathered}
\text { 其中 } \tan \varphi=4, \varphi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \\
\therefore \text { 当 } \sin (\theta+\varphi)=-1 \text { 时, } d_{\max }= \\
\frac{|-\sqrt{17}-3|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{85}+3 \sqrt{5}}{5},
\end{gathered}
$$

$\therefore$ 点 $P$ 到曲线 $C_1$ 距离的最大值为
$$
\frac{\sqrt{85}+3 \sqrt{5}}{5} .
$$




系统推荐