已知抛物线 $y=a x^2+b x(a \neq 0)$ 经过点 $(4,0)$ ．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）当 $a=1$ 时，若点 P 在第一象限，且点 P 为抛物线 $y= a x^2+b x$ 对称轴上一点，记原点为 O ，连接 OP ，将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，使点 O 的对应点 M 恰好落在抛物线上，直接写出此时点 P 的坐标： $\_\_\_\_$ ；
（3）点 $A\left(x_1, y_1\right)$ 和 $B\left(x_2, y_2\right)$ 分别在抛物线 $y=a x^2 +b x$ 和 $y=x^2-2 x$ 上（ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 与原点都不重合）。当 $\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$ 时，若 $\frac{x_2}{x_1}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值，求 a 的值。