操作与探究
操作: 在数学实践课上, 老师要求同学们对如图 1 的 $\triangle A B C$ 纸片进行以下操作, 并探究其 中的问题:


第一步: 如图 2, 沿过点 $B$ 的直线折叠, 使得点 $A$ 落在 $B C$ 上, 展开铺平该纸片, 折痕为 $B D$;
第二步: 如图 3, 继续折叠该纸片, 使得点 $B$ 与点 $D$ 重合, 展开铺平该纸片, 折痕为 $E F$;
第三步: 如图 4, 连接 $D E, D F$.
探究一:判断四边形 $B E D F$ 的形状, 并说明理由;
探究二: 在 $\triangle A B C$ 纸片中, $\angle A=105^{\circ}, \angle A B C=30^{\circ}, B C=6+2 \sqrt{3}$. 从 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两题中任选一题作答.
A. 求四边形 $B E D F$ 的面积.
B. 设点 $P$ 在 $B D$ 上运动, 连接 $C P, P F$, 求 $C P+P F$ 的最小值.

【答案】 探究一: 四边形 $B E D F$ 是菱形. 理由如下:
$\because$ 纸片沿过点 $B$ 的直线折叠, 点 $A$ 在 $B C$ 上, 折痕为 $B D$,
$\therefore \angle A B D=\angle D B C$.
$\because$ 折叠该纸片时使点 $B$ 与点 $D$ 重合,
$\therefore E F$ 是线段 $B D$ 的垂直平分线.
$\therefore E D=E B, F D=F B, E F \perp B D$.
$\therefore \angle A B D=\angle E D B, \angle D B C=\angle B D F$.
$\therefore \angle A B D=\angle B D F, \angle D B C=\angle B D E$.
$\therefore E D / / B F, B E / / D F . \therefore$ 四边形 $B E D F$ 是平行四边形.
$\because E F \perp B D, \therefore$ 四边形 $B E D F$ 是菱形.

A. 如答图, 过点 $D$ 作 $D H \perp B C$ 于点 $H$. 则 $\angle D H F=\angle D H C=90^{\circ}$.
由探究一, 得 四边形 $B E D F$ 是菱形.
$$
\begin{aligned}
& \therefore B F=F D, B E / / F D . \\
& \because \angle A B C=30^{\circ}, \angle A=105^{\circ},
\end{aligned}
$$


$\therefore \angle D F C=\angle A B C=30^{\circ}, \angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle A B C=45^{\circ}$.
$\therefore$ 在 Rt $\triangle D F H$ 中, $D F=2 D H$.
由勾股定理, 得 $F H=\sqrt{D F^2-D H^2}=\sqrt{(2 D H)^2-D H^2}=\sqrt{3} D H$.
在 Rt $\triangle D C H$ 中, $\angle C D H=90^{\circ}-\angle C=45^{\circ} . \therefore \angle C=\angle C D H . \therefore D H=H C . \quad \cdots 6$ 分 $\because B C=B F+F H+H C, \quad B C=6+2 \sqrt{3}$
$\therefore 6+2 \sqrt{3}=2 D H+\sqrt{3} D H+D H . \quad \therefore D H=2$. 7 分
$\therefore B F=D F=4$.
8 分
$\therefore$ 四边形 $B E D F$ 的面积等于 8 .
B. 如答图, 过点 $D$ 作 $D H \perp B C$ 于点 $H$, 过点 $E$ 作 $E G \perp B C$ 于点 $G$, 连接 $E C$ 交 $B D$ 于点 $P$, 连接 $P F$.
$$
\therefore \angle D H F=\angle D H C=\angle E G C=\angle E G B=90^{\circ} \text {. }
$$


由探究一, 得 四边形 $B E D F$ 是菱形.
$$
\therefore B F=F D=B E, B E / / F D, \quad E D / / B F \text {, }
$$
点 $E$ 与点 $F$ 关于 $B D$ 对称.
$\therefore C P+P F$ 的最小值是 $C E$.
$\because \angle A B C=30^{\circ}, \angle A=105^{\circ}$,
$\therefore \angle D F C=\angle A B C=30^{\circ}, \angle A C B=180^{\circ}-\angle A-\angle A B C=45^{\circ}$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle D F H$ 中, $D F=2 D H$.
由勾股定理, 得 $F H=\sqrt{D F^2-D H^2}=\sqrt{(2 D H)^2-D H^2}=\sqrt{3} D H$.
在 Rt $\triangle D C H$ 中, $\angle C D H=90^{\circ}-\angle C=45^{\circ}$.
$\therefore \angle C=\angle C D H . \therefore D H=H C$.

$$
\begin{aligned}
& \because B C=B F+F H+C H, B C=6+2 \sqrt{3} . \\
& \therefore 6+2 \sqrt{3}=2 D H+\sqrt{3} D H+D H . \therefore D H=2 . \\
& \therefore B F=D F=4 . \\
& \because E D / / B F, D H \perp B C \text { 于点 } H, \quad E G \perp B C \text { 于点 } G, \therefore E G=D H=2 . \\
& \because B E=F D=4, \angle E G B=90^{\circ}, \therefore \triangle B E G \text { 中是直角三角形. }
\end{aligned}
$$
由勾股定理, 得 $B G=\sqrt{B E^2-E G^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2 \sqrt{3}$.
$$
\therefore C G=B C-B G=6+2 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=6 \text {. }
$$
在 Rt $\triangle E G C$ 中, 由勾股定理, 得
$$
C E=\sqrt{C G^2+E G^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2 \sqrt{10} \text {. }
$$
$\therefore C P+P F$ 的最小值是 $2 \sqrt{10}$.


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