操作与探究
操作: 在数学实践课上, 老师要求同学们对如图 1 的 $\triangle A B C$ 纸片进行以下操作, 并探究其 中的问题:


第一步: 如图 2, 沿过点 $B$ 的直线折叠, 使得点 $A$ 落在 $B C$ 上, 展开铺平该纸片, 折痕为 $B D$;
第二步: 如图 3, 继续折叠该纸片, 使得点 $B$ 与点 $D$ 重合, 展开铺平该纸片, 折痕为 $E F$;
第三步: 如图 4, 连接 $D E, D F$.
探究一:判断四边形 $B E D F$ 的形状, 并说明理由;
探究二: 在 $\triangle A B C$ 纸片中, $\angle A=105^{\circ}, \angle A B C=30^{\circ}, B C=6+2 \sqrt{3}$. 从 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两题中任选一题作答.
A. 求四边形 $B E D F$ 的面积.
B. 设点 $P$ 在 $B D$ 上运动, 连接 $C P, P F$, 求 $C P+P F$ 的最小值.