如图, 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$, 过点 $D$ 作 $A C$ 的平行线并在其上截取 $D E=\frac{1}{2} A C$, 连接 $C E$.
求证: 四边形 $O C E D$ 是矩形.
【答案】 证明: $\because$ 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore O C=\frac{1}{2} A C, A C \perp B D . \\
& \because D E=\frac{1}{2} A C, \therefore D E=O C . \\
& \because D E / / A C, \therefore \text { 四边形 } O C E D \text { 是平行四边形. } \\
& \because A C \perp B D \text { 于点 } O, \therefore \angle C O D=90^{\circ} . \\
& \therefore \text { 四边形 } O C E D \text { 是矩形. }
\end{aligned}
$$


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解答题 来源:2022年北京市中考数学试卷
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $M(a, b), N$. 对于点 $P$ 给出如下定义: 将点 $P$ 向右 $(a \geq 0)$ 或向左 $(a<0)$ 平移 $|a|$ 个单位长度, 再向上 $(b \geq 0)$ 或向下 $(b<0)$ 平移 $|b|$ 个单位长度, 得到点 $P^{\prime}$, 点 $P^{\prime}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$, 称点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”. (1) 如图, 点 $M(1,1)$, 点 $N$ 在线段 $O M$ 的延长线上, 若点 $P(-2,0)$, 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”. [img=/uploads/2022/707c3c.jpg][/img] (1)在图中画出点 $Q$; (2)连接 $P Q$, 交线段 $O N$ 于点 $T$. 求证: $N T=\frac{1}{2} O M$; (2) $\odot O$ 的半径为 $1, M$ 是 $\odot O$ 上一点, 点 $N$ 在线段 $O M$ 上, 且 $O N=t\left(\frac{1}{2}<t<1\right)$, 若 $P$ 为 $\odot O$ 外一点, 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”, 连接 $P Q$. 当点 $M$ 在 $\odot O$ 上运动时直接写出 $P Q$ 长的最大值与最小值的差 (用含 $t$ 的式子表 示)