直角三角形中 “勾三股四弦五”这一特殊关系, 在中国称为 “商高定理”, 在国外又称为 “毕 达哥拉斯定理”. 由此发现三个连续正整数 $3,4,5$, 满足 $3^2+4^2=5^2$, 即前两个数的平方和等 于第三个数的平方. 请你探究: 是否存在五个连续正整数, 满足前三个数的平方和等于后 两个数的平方和? 若存在, 请求出这五个正整数; 若不存在, 请说明理由.
【答案】 解: 存在.
设这五个连续的正整数分别为 $x-2, x-1, x, x+1, x+2$.
根据题意, 得 $(x-2)^2+(x-1)^2+x^2=(x+1)^2+(x+2)^2$.
解得 $x_1=12, x_2=0$ (不合题意, 舍去).
此时 $x-2=12-2=10, x-1=12-1=11, x+1=12+1=13, x+2=12+2=14$.
答: 这五个正整数分别为 $10,11,12,13$ 和 14 .


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