北京时间 2025 年 11 月 14 日 16：40 神舟二十号航天员乘组成功着陆东风着陆场，现场医监医保人员确认航天员陈冬、陈中瑞、王杰 3 名航天员安全出舱，健康状况良好，其中陈冬刷新中国航天员在轨驻留超 400 天纪录，神舟二十号载人飞行任务取得圆满成功、近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 $v=v_0 \cdot \ln \frac{M}{m}$ 计算火箭的最大速度 $v \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，其中 $v_0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 是喷 流相对速度，$m \mathrm{~kg}$ 是火箭（除推进剂外）的质量，$M \mathrm{~kg}$ 是推进剂与火箭质是的总和，$\frac{M}{m}$ 称为＂总质比＂，已知某型火箭的喷流相对速度为 $2000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．
（1）若火箭的总质比为 50 ，利用给出的参考数据判断该型火箭的最大速度能否达到第一宇宙速度（ $7900 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ）；
（2）为了火箭获取更大速度，需要对材料进行更新和技术改进，材料更新后总质比变为原来的 $\frac{1}{3}$ ，技术改进后火箭喷流相对速度变为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，若使火箭最大速度至少增加 $1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，求材料更新前总质比的最小整数值．（参考数据： $\ln 50 \approx 3.9,2.718 < \mathrm{e} < 2.719$ ）