如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中， $A B \perp B C, A B=A A_1=2, B C=1, \overrightarrow{A E}=\lambda \overrightarrow{A C}$ ， $\overrightarrow{A_1 F}=\lambda \overrightarrow{A_1 B}$ ，其中 $0 < \lambda < 1$ ．
（1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，求证：$E F / /$ 平面 $B C C_1 B_1$ ：
（2）当 $\lambda$ 为何值时， $\boldsymbol{E F}$ 的长最小，并求其最小值：
（3）当 $\boldsymbol{E F}$ 的长最小时，求平面 $\boldsymbol{A E F}$ 与平面
$B C C_1 B_1$ 夹角的余弦值．