设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一组 $n$ 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 $n$ 维向 量都可由它们线性表示.
【答案】 解:必要性 已知 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关, 设 $\beta$ 是任一 $n$ 维向量,
由于 $(n+1)$ 个 $n$ 维向量 $R\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta\right) \leq n < n+1$,
所以 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$ 线性相关, $\quad $
则 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.


充分性 由于任一 $n$ 维向量都可用 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示, 特别地, $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示, 则 $R\left(e_1, \cdots, e_n\right) \leq R\left(a_1, \cdots, a_n\right)$,

而 $R\left(e_1, \cdots, e_n\right)=n, \quad R\left(a_1, \cdots, a_n\right) \leq n$
故 $n=R\left(e_1, \cdots, e_n\right) \leq R\left(a_1, \cdots, a_n\right) \leq n$,
即 $R\left(a_1, \cdots, a_n\right)=n$, 从而 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关


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