在平面直角坐标系中, 点 $O$ 为坐标原点, 抛物线 $y=a x^2+b$ 经过点 $A\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{8}\right)$, 点 $B\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{8}\right)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$.


(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 如图 1, 点 $D$ 在该拋物线上, 点 $D$ 横坐标为 $-2$, 过点 $D$ 向 $y$ 轴作垂线, 垂足为点 $E$. 点 $P$ 为 $y$ 轴 负半轴上的一个动点, 连接 $D P$ 、设点 $P$ 的纵坐标为 $t, \triangle D E P$ 的面积为 $S$, 求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式 (不 要求写出自变量 $t$ 的取值范围);
(3) 如图 2, 在 (2) 的条件下, 连接 $O A$, 点 $F$ 在 $O A$ 上, 过点 $F$ 向 $y$ 轴作垂线, 垂足为点 $H$, 连接 $D F$ 交 $y$ 轴于点 $G$, 点 $G$ 为 $D F$ 的中点, 过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线与过点 $P$ 所作的 $x$ 轴的平行线相交于点 $N$, 连 接 $C N, P B$, 延长 $P B$ 交 $A N$ 于点 $M$, 点 $R$ 在 $P M$ 上, 连接 $R N$, 若 $3 C P=5 G E$, $\angle P M N+\angle P D E=2 \angle C N R$, 求直线 $R N$ 的解析式.
【答案】 【小问 1 详解】
解: $\because$ 抛物线 $y=a^2+b$ 经过 $A\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{8}\right), B\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{8}\right)$,
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
\frac{21}{8}=\frac{25}{4} a+b \\
-\frac{3}{8}=\frac{1}{4} a+b
\end{array},\right.
$$
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$,
【小问 2 详解】
解: 由 (1) 得 $y=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2}$, 点 $D$ 的横坐标为 $-2$
$\therefore$ 点 $D$ 纵坐标为 $\frac{3}{2}$
$$
\begin{aligned}
& \therefore D\left(-2, \frac{3}{2}\right), \\
& \because D E \perp y \text { 轴 }
\end{aligned}
$$

$$
\therefore D E=2, \quad E\left(0, \frac{3}{2}\right)
$$
$\because$ 点 $P$ 的纵坐标为 $t$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore P E=\frac{3}{2}-t, \\
& \therefore S=\frac{1}{2} D E \cdot P E=\frac{1}{2} \times 2 \times\left(\frac{3}{2}-t\right)=-t+\frac{3}{2} ;
\end{aligned}
$$
【小问 3 详解】
解: 如图所示, 过点 $C$ 作 $C K \perp C N$, 交 $N R$ 的延长线于点 $K$, 过点 $K$ 作 $K T \perp y$ 轴于点 $T$,



$\because y=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2}$, 当 $x=0$ 时, $y=-\frac{1}{2}$,
$$
\therefore C\left(0,-\frac{1}{2}\right) \text {, }
$$
$$
\therefore O C=\frac{1}{2} \text {, }
$$
$\because F H \perp y$ 轴, $D E \perp y$ 轴,
$$
\therefore \angle F H G=\angle D E G=90^{\circ} \text {, }
$$
$\because$ 点 $G$ 为 $D F$ 中点,
$$
\therefore D G=F G \text {, }
$$
在 $\triangle F H G$ 和 $\triangle D E G$ 中,
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\angle F H G=\angle D E G \\
\angle H G F=\angle D E G \\
F G=D G
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle F H G \cong \triangle D E G(A A S), \\
& \therefore H F=E D=2, H G=E G=\frac{1}{2} H E,
\end{aligned}
$$
设直线 $O A$ 的解析式为: $y=k x$, 将点 $A\left(\frac{5}{2}, \frac{21}{8}\right)$ 代入得,
$$
\frac{5}{2} k=\frac{21}{8}
$$

解得, $k=\frac{21}{20}$,
$\therefore$ 直线 $O A$ 的解析式: $y=\frac{21}{20} x$,
当 $x=2$ 时, $y=\frac{21}{20} \times 2=\frac{21}{10}$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore F\left(2, \frac{21}{10}\right), H\left(0, \frac{21}{20}\right), \\
& \therefore H E=\frac{21}{10}-\frac{3}{2}=\frac{3}{5}, \\
& \therefore G E=\frac{1}{2} H E=\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}, \\
& \because 3 C P=5 G E, \\
& \therefore C P=\frac{5}{3} G E=\frac{5}{3} \times \frac{3}{10}=\frac{1}{2}, \\
& \therefore P(0,1), \\
& \because A N / / y \text { 轴, } P N / / x \text { 轴, } \\
& \therefore E P=\frac{3}{2}-(-1)=\frac{5}{2}, \\
& \therefore N\left(\frac{5}{2},-1\right), \\
& \therefore P N=\frac{5}{2}, \\
& \therefore E\left(0, \frac{3}{2}\right), \\
\end{aligned}
$$

$$
\therefore E P=\frac{3}{2}-(-1)=\frac{5}{2} \text {, }
$$
设直线 $B P$ 的解析式为 $y=m x+n$, 则

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{2} m+n=-\frac{3}{8}, \\
n=-1
\end{array}\right.
$$
解得, $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{4} \\ n=-1\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $B P$ 的解析式为: $y=\frac{5}{4} x-1$, 当 $x=\frac{5}{2}$ 时, $y=\frac{5}{4} \times \frac{5}{2}-1=\frac{17}{8}$,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{5}{2}, \frac{17}{8}\right)$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore M N=\frac{17}{8}-(-1)=\frac{25}{8} \text {, } \\
& \because \frac{P N}{M N}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{25}{8}}=\frac{4}{5}, \quad \frac{D E}{E P}=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5} \text {, } \\
& \therefore \frac{P N}{M N}=\frac{D E}{E P} \text {, } \\
& \because \angle P N M=\angle D E P=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore \triangle P M N \sim \triangle D P E \text {, } \\
& \therefore \angle P M N=\angle D P E \text {, } \\
& \because \angle D P E+\angle P D E=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore \angle P M N+\angle P D E=90^{\circ} \text {, } \\
& \because \angle P M N+\angle P D E=2 \angle C N R \\
& \therefore \angle C N R=45^{\circ} \text {, } \\
& \because C K \perp C N \text {, } \\
& \therefore \angle N C K=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore \triangle C N K \text { 是等腰直角三角形, } \\
& \therefore C K=C N \text {, } \\
& \because \angle C T K=\angle N P C=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore \angle K C T+\angle C K T=90^{\circ} \text {, } \\
& \because \angle N C P+\angle K C T=90^{\circ} \text {, } \\
\end{aligned}
$$



$\therefore \angle C K T=\angle N C P$,
在 $\triangle C K T$ 和 $\triangle N C P$ 中,
$$
\left\{\begin{aligned}
\angle C T K & =\angle N P C \\
\angle C K T & =\angle N C P \\
C K & =N C
\end{aligned}\right.
$$
$$
\therefore \triangle C K T \cong \triangle N C P \quad(A A S) \text {, }
$$
$$
\therefore C T=P N=\frac{5}{2}, K T=C P=\frac{1}{2} \text {, }
$$
$$
\therefore O T=C T-O C=2 \text {, }
$$

$$
\therefore K\left(\frac{1}{2}, 2\right) \text {, }
$$
设直线 $R N$ 的解析式为: $y=e x+f$, 将点 $K\left(\frac{1}{2}, 2\right), N\left(\frac{5}{2},-1\right)$ 得,
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2} e+f=2 \\
\frac{5}{2} e+f=-1
\end{array},\right.
$$
解得, $\left\{\begin{array}{l}e=-\frac{3}{2} \\ f=\frac{11}{4}\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $R N$ 的解析式为: $y=-\frac{3}{2} x+\frac{11}{4}$.


系统推荐