如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=5$, 点 $D$ 在 $A C$ 上, 且 $A D=2$, 点 $E$ 是 $A B$ 上 的动点, 连结 $D E$, 点 $F, G$ 分别是 $B C$ 和 $D E$ 的中点, 连结 $A G, F G$, 当 $A G=F G$ 时, 线段 $D E$ 长为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{13}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{41}}{2}$
$\text{D.}$ $4$