在抽样检查某种产品的质量时, 如果发现次品多于 10 个, 则拒绝接受这批产品。 设产品的次品率为 $10 \%$, 问至少应抽查多少个产品进行检查, 才能保证拒绝这批产品的概 率达到 $0.9 ?(\boldsymbol{\Phi} \mathbf{1 . 2 9})=\mathbf{0 . 9})$
【答案】 设应抽查 $n$ 件产品, 其中次品数为 $Y$, 则 $Y \sim B(n, 0.1)$,
其中 $E Y=n p=0.1 n, D Y=n p(1-p)=0.09 n$, 由二项分布的中心极限定理, 得 $P\{10 \leq Y \leq n\}=P\left\{\frac{10-0.1 n}{\sqrt{0.09 n}} \leq \frac{Y-0.1 n}{\sqrt{0.09 n}} \leq \frac{n-0.1 n}{\sqrt{0.09 n}}\right\}=\Phi(3 \sqrt{n})-\Phi\left(\frac{10-0.1 n}{0.3 \sqrt{n}}\right)$ $\approx 1-\Phi\left(\frac{10-0.1 n}{0.3 \sqrt{n}}\right)$, 要使 $1-\Phi\left(\frac{10-0.1 n}{0.3 \sqrt{n}}\right) \geq 0.9$, 即 $\Phi\left(\frac{0.1 n-10}{0.3 \sqrt{n}}\right) \geq 0.9$, 查表得 $\frac{0.1 n-10}{0.3 \sqrt{n}} \geq 1.29$, 解得 $n \geq 147$, 即至少要抽查 147 件产品才能保证拒绝这批产品的概 率达到 0.9。


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