设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=\mathbf{2}$ 的指数分布, 证明: $Y=\mathbf{1}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2 X}}$ 服从 $\left.\mathbf{( 0 , 1}\right)$ 上的 均匀分布。
【答案】 $$
\begin{aligned}
F_Y(y)=P\{Y \leq y\}=P\left\{1-e^{-2 X} \leq y\right\}=P\left\{X \leq-\frac{\ln (1-y)}{2}\right\} \\
&
\end{aligned}
$$

$$
=\left\{\begin{array}{l}
0, y < 0, \\
\int_{-\infty}^{\frac{\ln (1-y)}{2}} 2 e^{-2 x} d x=y(0 \leq y < 1), \\
1, y \geq 1 .
\end{array}\right.
$$

$$
\therefore f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{l}
1,(0 < y < 1), \\
0, \text { 其他。 }
\end{array}\right.
$$


系统推荐