设 $X$ 与 $Y$ 两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{rr}
1, & 0 \leq x \leq 1 ; \\
0, & \text { 其它. }
\end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}e^{-y}, & y > 0 ; \\
0, & y \leq 0 .\end{cases}\right.
$$
求: 随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数.
【答案】 因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 所以 $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x$ 当 $z \leq 0$ 时, $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_\gamma(z-x) d x=0$;
当 $0 < z < 1$ 时, $f_Z(z)=\int_{-x}^{+x} f_X(x) f_Y(z-x) d x=\int_0^z e^{-(z-x)} d x=1-e^{-z}$;
当 $z \geq 1$ 时, $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x=\int_0^1 e^{-(z-x)} d x=e^{-z}(e-1)$;
所以
$$
f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_\gamma(z-x) d x=\left\{\begin{array}{cc}
0 & z \leq 0 \\
1-e^{-z} & 0 < z < 1 \\
e^{-z}(e-1) & z \geq 1
\end{array}\right.
$$


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