某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的 $25 \%, 35 \%, 40 \%$, 各车间产品的次品率分别为 $5 \%, 4 \%, 2 \%$,
求:
(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少?
【答案】 解: $\mathrm{A}=$ “生产的产品是次品”, $\mathrm{B}_1=$ “产品是甲厂生产的”, $\mathrm{B}_2=$ "产品是乙厂生产的", $\mathrm{B}_3=$ “产品是丙厂生产的”, 易见 $B_1, B_2, B_3$ 是 $\Omega$ 的一个划分

(1)由全概率公式, 得
$$
P(A)=\sum_{i=1}^3 P\left(A B_i\right)=\sum_{i=1}^3 P\left(B_i\right) P\left(A \mid B_i\right)=25 \% \times 5 \%+35 \% \times 4 \%+40 \% \times 2 \%=0.0345 \text {. }
$$
(2) 由 Bayes 公式有: $P\left(B_1 \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_1\right) P\left(B_1\right)}{P(A)}=\frac{25 \% \times 5 \%}{0.0345}=\frac{25}{69}$


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