如图 14, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^2+c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 点 $B$ 的 坐标是 $(2,0)$, 顶点 $C$ 的坐标是 $(0,4), M$ 是抛物线上一动点, 且位于第一象限, 直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $G$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2) 如图 14-1, $N$ 是抛物线上一点, 且位于第二象限, 连接 $O M$, 记 $\triangle A O G, \triangle M O G$ 的面积分别为 $S_1, S_2$. 当 $S_1=2 S_2$, 且直线 $C N / / A M$ 时, 求证: 点 $N$ 与点 $M$ 关于 $y$ 轴对称;
(3) 如图 14-2, 直线 $B M$ 与 $y$ 轴交于点 $H$, 是否存在点 $M$, 使得 $2 O H-O G=7$. 若 存在, 求出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
【答案】 解: (1) $\because$ 抛物线 $y=a x^2+c$ 与 $x$ 轴交于点 $B(2,0)$, 顶点为 $C(0,4)$,
$\therefore\left\{\begin{array}{l}4 a+c=0, \\ c=4 .\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1, \\ c=4 .\end{array}\right.$
$\therefore$ 该抛物线的解析式为 $y=-x^2+4$.
(2) 证明: 如答案图 6. 过点 $M$ 作 $M D \perp y$ 轴, 垂足为 $D$. 当 $\triangle A O G$ 与 $\triangle M O G$ 都以 $O G$ 为底时, $\because S_1=2 S_2, \therefore O A=2 M D$. 当 $y=0$ 时, 则 $-x^2+4=0$,
解得 $x_1=-2, x_2=2 . \because B(2,0), \therefore A(-2,0)$,
$\therefore O A=2, M D=1$. 设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,-m^2+4\right)$,

$\because$ 点 $M$ 在第一象限, $\therefore m=1$,
$$
\therefore-m^2+4=3, \therefore M(1,3) \text {. }
$$
设直线 $A M$ 的解析式为 $y=k_1 x+b_1$,
$$
\therefore\left\{\begin{array} { l }
{ - 2 k _ { 1 } + b _ { 1 } = 0 , } \\
{ k _ { 1 } + b _ { 1 } = 3 . }
\end{array} \text { 解得 } \left\{\begin{array}{l}
k_1=1, \\
b_1=2 .
\end{array}\right.\right.
$$
$\therefore$ 直线 $A M$ 的解析式为 $y=x+2$.
设直线 $C N$ 的解析式为 $y=k_2 x+b_2$,


$\because$ 直线 $C N / / A M, \therefore k_2=k_1=1, \therefore y=x+b_2, \because C(0,4), \therefore b_2=4$.
$\therefore$ 直线 $C N$ 的解析式为 $y=x+4$, 将其代入 $y=-x^2+4$ 中,
得 $x+4=-x^2+4, \therefore x^2+x=0$, 解得 $x_3=0, x_4=-1$.
$\because$ 点 $N$ 在第二象限, $\therefore$ 点 $N$ 的横坐标为 $-1, \therefore y=3, \therefore N(-1,3)$.
$\because M(1,3), \therefore$ 点 $N$ 与点 $M$ 关于 $y$ 轴对称



(3)如答案图 7.
存在点 $M$, 使得 $2 O H-O G=7$. 过点 $M$ 作 $M E \perp x$ 轴, 垂足为 $E$.
$$
\begin{aligned}
& \because M\left(m,-m^2+4\right), \therefore O E=m, M E=-m^2+4 \\
& \because B(2,0), \therefore O B=2, \quad \therefore B E=2-m .
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle B E M$ 和 Rt $\triangle B O H$ 中,
$$
\because \tan \angle M B E=\tan \angle H B O, \quad \therefore \frac{E M}{B E}=\frac{O H}{B O},
$$



$$
\begin{aligned}
& \therefore O H=\frac{E M \cdot B O}{B E}=\frac{2\left(-m^2+4\right)}{2-m}=2(2+m)=2 m+4 . \\
& \because O A=2, \quad \therefore A E=m+2,
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle A O G$ 和 Rt $\triangle A E M$ 中, $\because \tan \angle G A O=\tan \angle M A E$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{O G}{A O}=\frac{E M}{A E}, \quad \therefore O G=\frac{E M \cdot A O}{A E}=\frac{2\left(-m^2+4\right)}{m+2}=2(2-m)=4-2 m . \\
& \because 2 O H-O G=7, \quad \therefore 2(2 m+4)-(4-2 m)=7, \quad \therefore m=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

当 $m=\frac{1}{2}$ 时, $-m^2+4=\frac{15}{4}, \therefore M\left(\frac{1}{2}, \frac{15}{4}\right)$.
$\therefore$ 存在点 $M\left(\frac{1}{2}, \frac{15}{4}\right)$, 使得 $2 O H-O G=7 . $


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解答题 来源:2021-2022 学年郑州市七年级 (上) 名校月考真题(一)
在学习绝对值后, 我们知道, $|a|$ 表示数 $a$ 在数轴上的对应点与原点的距离. 如: $|5|$ 表示 5 在数轴 上的对应点到原点的距离. 而 $|5|=|5-0|$, 即 $|5-0|$ 表示 $5 、 0$ 在数轴上对应的两点之间的距离. 类 似的, 有: $|5-3|$ 表示 $5 、 3$ 在数轴上对应的两点之间的距离; $|5+3|=|5-(-3)|$, 所以 $|5+3|$ 表示 5 、 $-3$ 在数轴上对应的两点之间的距离. 一般地, 点 $A 、 B$ 在数轴上分别表示有理数 $a 、 b$, 那么 $A 、 B$ 之间的距离可表示为 $|a-b|$. 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题: (1) 数轴上表示 2 和 3 的两点之间的距离是 ; 数轴上 $P 、 Q$ 两点的距离为 3 , 点 $P$ 表示 的数是 2 , 则点 $Q$ 表示的数是 (2) 点 $A 、 B 、 C$ 在数轴上分别表示有理数 $x 、-3 、 1$, 那么 $A$ 到 $B$ 的距离与 $A$ 到 $C$ 的距离之和可 表示为 (用含绝对值的式子表示); 满足 $|x-3|+|x+2|=7$ 的 $x$ 的值为 (3) 试求 $|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-100|$ 的最小值.