已知 $x^2=2 p y(p > 0)$ 的焦点为 $F$, 且经过 $F$ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=9$ 截得的线段长度的最小值为 4 .
(1) 求抛物线的方程;
(2) 设坐标原点为 $O$, 若过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$, 过点 $P, Q$ 作抛物线的 切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$, 请问直线 $M N$ 是否经过定点? 若是, 请求出此定点坐标, 若不 是, 请说明理由.
【答案】 解:(1) 易知: 焦点 $F$ 到圆心的距离为 $\sqrt{5} \Rightarrow 1+\left(\frac{p+3}{2}\right)^2=5 \Rightarrow p=1$ 或 $p=-7$ (舍),
故抛物线的方程为 $x^2=2 y$.

(2) 设点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right), A(2,0)$,
则点 $P$ 处的切线方程为 $y-y_1=x_1\left(x-x_1\right) \Rightarrow y=x_1 x-\frac{1}{2} x_1^2$,
直线 $O Q$ 的方程为: $y=\frac{x_2}{2} x$,
则点 $M\left(\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}, \frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}\right)$, 同理点 $N\left(\frac{x_2^2}{2 x_2-x_1}, \frac{x_2^2 x_1}{4 x_2-2 x_1}\right)$,
可得: $k_{M N}=\frac{\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}-\frac{x_2^2 x_1}{4 x_2-2 x_1}}{\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}-\frac{x_2^2}{2 x_2-x_1}}=\frac{x_1 x_2\left[x_1\left(2 x_2-x_1\right)-x_2\left(2 x_1-x_2\right)\right]}{2\left[x_1^2\left(2 x_2-x_1\right)-x_2^2\left(2 x_1-x_2\right)\right]}$
$$
=\frac{x_1 x_2\left(x_2-x_1\right)\left(x_1+x_2\right)}{2\left[2 x_1 x_2\left(x_1-x_2\right)+\left(x_2^3-x_1^3\right)\right]}=\frac{x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{2\left(x_1^2+x_2^2-x_1 x_2\right)},
$$

直线 $M N$ 的方程为: $y-\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}=\frac{x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{2\left(x_1^2+x_2^2-x_1 x_2\right)}\left(x-\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}\right)$,
注意到点 $P, Q$ 满足 $\frac{y_1}{x_1-2}=\frac{y_2}{x_2-2} \Rightarrow x_1^2\left(x_2-2\right)=x_2^2\left(x_1-2\right) \Rightarrow x_1 x_2=2\left(x_1+x_2\right)$,
$$
x_1^2+x_2^2=\frac{1}{4} x_1^2 x_2^2-2 x_1 x_2 \Rightarrow k_{M N}=\frac{x_1 x_2}{x_1 x_2-12}
$$

$\Rightarrow$ 直线 $M N$ 的方程为 $y-\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}=\frac{x_1 x_2}{x_1 x_2-12}\left(x-\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}\right)$.


$
\text { 注意令 } x=2 \text {, 则 } y-\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}=\frac{x_1 x_2}{x_1 x_2-12}\left(2-\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}\right)=\frac{x_1 x_2}{2 x_1-x_2} \times \frac{4 x_1-2 x_2-x_1^2}{x_1 x_2-12}
$

$=\frac{x_1 x_2}{2 x_1-x_2} \times \frac{4 x_1-\frac{4 x_1}{x_1-2}-x_1^2}{\frac{2 x_1^2}{x_1-2}-12}=\frac{x_1 x_2}{2 x_1-x_2} \times \frac{-x_1^3+6 x_1^2-12 x_1}{2\left(x_1^2-6 x_1+12\right)}=-\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2} \Rightarrow y=0$, 直线 $M N$ 经 过定点 $A(2,0)$.

【另 1】由直线 $M N$ 的方程为: $y-\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}=\frac{x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{2\left(x_1^2+x_2^2-x_1 x_2\right)}\left(x-\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}\right)$,
注意令 $y=0$ 可得: $x=\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}-\frac{x_1\left(x_1^2+x_2^2-x_1 x_2\right)}{\left(2 x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)} \Rightarrow x=\frac{x_1\left(2 x_1 x_2-x_2^2\right)}{\left(2 x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}$ $\Rightarrow x=\frac{x_1 x_2}{x_1+x_2}$
注意到点 $P, Q$ 满足 $\frac{y_1}{x_1-2}=\frac{y_2}{x_2-2} \Rightarrow x_1^2\left(x_2-2\right)=x_2^2\left(x_1-2\right) \Rightarrow x_1 x_2=2\left(x_1+x_2\right)$
$\Rightarrow x=2$, 直线 $M N$ 经过定点 $A(2,0)$.


【另 2】由点 $M\left(\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}, \frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}\right)$, 点 $N\left(\frac{x_2^2}{2 x_2-x_1}, \frac{x_2^2 x_1}{4 x_2-2 x_1}\right)$,
$$
k_{A M}=\frac{\frac{x_1^2 x_2}{4 x_1-2 x_2}-0}{\frac{x_1^2}{2 x_1-x_2}-2}=\frac{x_1^2 x_2}{2\left(x_1^2-4 x_1+2 x_2\right)}, \quad k_{A V}=\frac{\frac{x_2^2 x_1}{4 x_2-2 x_1}-0}{\frac{x_2^2}{2 x_2-x_1}-2}=\frac{x_2^2 x_1}{2\left(x_2^2-4 x_2+2 x_1\right)} .
$$
注意到点 $P, Q$ 满足 $\frac{y_1}{x_1-2}=\frac{y_2}{x_2-2} \Rightarrow x_1^2\left(x_2-2\right)=x_2^2\left(x_1-2\right) \Rightarrow x_1 x_2=2\left(x_1+x_2\right)$.
$$
\begin{aligned}
& \frac{x_1}{x_1^2-4 x_1+2 x_2}-\frac{x_2}{x_2^2-4 x_2+2 x_1}=\frac{x_1 x_2^2+2 x_1^2-x_1^2 x_2-2 x_2^2}{\left(x_1^2-4 x_1+2 x_2\right)\left(x_2^2-4 x_2+2 x_1\right)} \\
& =\frac{\left(x_1 x_2-2 x_1-2 x_2\right)\left(x_2-x_1\right)}{\left(x_1^2-4 x_1+2 x_2\right)\left(x_2^2-4 x_2+2 x_1\right)} \\
& \Rightarrow k_{A M}=k_{A N} \Rightarrow x=2 \text {, 直线 } M N \text { 经过定点 } A(2,0) .
\end{aligned}
$$




系统推荐