$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别记为 $a, b, c$, 若 $a=\sqrt{7}, \cos C=-\frac{\sqrt{7}}{14}$, 从下面条件(1)(2)(3)中任选一个作 为已知条件, 完成以下问题:
① $c=3$;② $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{14}$;③ $a \cos B=c+b \cos 2 A$.
(1) 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(2) 若 $\angle A$ 的角平分线与边 $B C$ 交于点 $D$, 延长 $A D$ 至点 $E$ 使得 $D E=2 A D$, 求 $B E$.
【答案】 解:(1)若选(1) $c=3$, 则 $\cos C=\frac{b^2-2}{2 \sqrt{7} b}=-\frac{\sqrt{7}}{14} \Rightarrow b^2+b-2=0 \Rightarrow b=1$,
又 $\cos C=-\frac{\sqrt{7}}{14} \Rightarrow \sin C=\frac{3 \sqrt{21}}{14} \Rightarrow S_{\triangle \operatorname{ACC}}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

若选(2) $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{14}$ , 则 $\cos B=\frac{5 \sqrt{7}}{14}, \sin C=\frac{3 \sqrt{21}}{14}$,
$\cos A=-\cos B \cos C+\sin B \sin C=\frac{\sqrt{7}}{14} \times \frac{5 \sqrt{7}}{14}+\frac{\sqrt{21}}{14} \times \frac{3 \sqrt{21}}{14}=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3}$,

由正弦定理可得: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow b=\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{21}}{14}=1 \Rightarrow S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
若选(3) $a \cos B=c+b \cos 2 A$,
则 $a \cos B=c+b \cos 2 A \Rightarrow \sin A \cos B=\sin C+\sin B \cos 2 A$
$\Rightarrow \cos A \sin B+\sin B \cos 2 A=0 \Rightarrow 2 \cos ^2 A+\cos A-1=0 \Rightarrow \cos A=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3}$,

$\cos C=-\frac{\sqrt{7}}{14} \Rightarrow \sin C=\frac{3 \sqrt{21}}{14}$, 则 $\sin B=\sin \left(\frac{2 \pi}{3}-C\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos C+\frac{1}{2} \sin C=\frac{\sqrt{21}}{14}$,
由正弦定理可得: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow b=\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{21}}{14}=1 \Rightarrow S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
(2)由角平分线的性质知: $\frac{B D}{D C}=\frac{A B}{A C}=\frac{3}{1}, \therefore B D=\frac{3 \sqrt{7}}{4}, D C=\frac{\sqrt{7}}{4}$.
在 $\triangle A B D$ 中, $\because \sin B=\frac{\sqrt{21}}{14}, \therefore \cos B=\frac{5 \sqrt{7}}{14}$.

由余弦定理知: $A D^2=A B^2+B D^2-2 A B \cdot B D \cdot \cos B=9+\frac{63}{16}-2 \cdot 3 \cdot \frac{3 \sqrt{7}}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{7}}{14}=\frac{27}{16}$,
故 $A D=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.
在 $\triangle A C D$ 中, 由正弦定理知: $\frac{A C}{\sin \angle A D C}=\frac{D C}{\sin \angle D A C}$,
即 $\frac{1}{\sin \angle A D C}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{1}{2}} \Rightarrow \sin \angle A D C=\frac{2}{\sqrt{7}}$,
故 $\cos \angle A D C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

在 $\triangle B D E$ 中, $D E=2 A D=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \cos \angle B D E=\cos \angle A D C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,
由余弦定理知:
$B E^2=D E^2+B D^2-2 D E \cdot B D \cdot \cos \angle B D E=\frac{27}{4}+\frac{63}{16}-2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{7}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{63}{16}$,
故 $B E=\frac{3 \sqrt{7}}{4}$.


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