下列函数中, 是奇函数且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减的是
$ \text{A.} $ $y=2^{|x|}$ $ \text{B.} $ $y=\frac{\sin x}{x}$ $ \text{C.} $ $y=\lg \left(\sqrt{4 x^2+1}-2 x\right)$ $ \text{D.} $ $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$
【答案】 C

【解析】 A 选项: $f(-x)=2^{\text {x }}=f(x)$, 故 $\mathrm{A}$ 选项错误: B 选项: $f(-x)=\frac{\sin (-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x)$, 故 B 选项错误; $\mathrm{C}$ 选项:因为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 且 $f(-x)+f(x)=\lg \left(\sqrt{4 x^2+1}+2 x\right)+$ $\lg \left(\sqrt{4 x^2+1}-2 x\right)=\lg \left(4 x^2+1-4 x^2\right)=\lg 1=0, \therefore f(x)$ 是奇函数. 又 $\because f(x)=-f(-x)=$ $-\lg \left(\sqrt{4 x^2+1}+2 x\right)$, 由复合函数单调性知, $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 故 $\mathrm{C}$ 选项正确: $\mathrm{D}$ 选项: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^x-\frac{1}{\mathrm{e}^x}\right)$, 由复合函数单调性可知, $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 故 D 选项错误, 故选 C.
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