如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C$, 以 $B C$ 为 直径作 $\odot O$, 交 $A C$ 于点 $F$, 过 $C$ 点作 $C D \perp$ $A C$ 交 $A B$ 延长线于点 $D, E$ 为 $C D$ 上一点, 且 $E B=E D$.
(1) 求证: $B E$ 为 $\odot O$ 的切线:
(2) 若 $A F=2, \tan A=2$, 求 $B E$ 的长.
【答案】 (1) 证明: $\because A C=B C, E B=E D$
$\therefore \angle A=\angle A B C, \angle D=\angle E B D$
$\because C D \perp A C$
$\therefore \angle A+\angle D=90^{\circ}$
$\therefore \angle A B C+\angle E B D=90^{\circ} $
$\therefore \angle C B E=90^{\circ} $
$\because B C$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\therefore B E$ 是 $\odot O$ 的切线

(2)


解: 连接 $B F$
$\because B C$ 是 $\odot O$ 的直径
$\therefore \angle B F C=\angle B F A=90^{\circ}$
在 Rt $\triangle A B F$ 中, $\tan A=\frac{B F}{A F}=\frac{B F}{2}=2 \quad \therefore B F=4 $

设 $C F=x$, 则 $A C=B C=x+2$
在 Rt $\triangle B C F$ 中, $B C^2=C F^2+B F^2$
$$
\begin{aligned}
& (x+2)^2=x^2+4^2 \quad \therefore x=3 \quad \therefore C F=3, B C=5 . \\
& \because \angle A C B=\angle A F B=90^{\circ} \therefore B F // C D \\
& \therefore \angle 1=\angle 2 \\
& \text { 又 } \because \angle C F B=\angle E B C=90^{\circ} \\
& \therefore \triangle C F B C \triangle E B C \\
& \therefore \frac{F C}{B E}=\frac{F B}{B C}
\end{aligned}
$$

$
\therefore \frac{3}{B E}=\frac{4}{5} \quad \therefore B E=\frac{15}{4}
$


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