题号:3325    题型:解答题    来源:江苏省初中数学竞赛 入库日期 2022/12/6 9:35:22
若 $3^{x+y}=128 , 3^{x-y}=32$ ,求 $\frac{x}{y}$ 的值。
【答案】 解:
$$
\because \left\{\begin{array}{l}
3^{x+y}=128, \cdot \cdot \cdot (1) \\
3^{x-y}=32 \cdot \cdot \cdot (2)
\end{array}\right.
$$
$$
\begin{aligned}
& (1) \times (2)= \\
& 3^{x+y} \cdot 3^{x-y}=128 \times 32 \\
& 3^{x+y+x-y}=3^{2 x}=2^7 \times 2^5 \\
& \therefore(3 x)^2=2^{12} \\
& 2^x=2^6 \cdot \cdot \cdot (3)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(1) \div (2)= \\
\frac{3^{x+y}}{3^{x-y}}=\frac{2^7}{2^5} \\
3^{2 y}=2^2 \\
\therefore 3^y y^2=2^2 \\
3^y=2 \cdot \cdot \cdot (4)
\end{aligned}
$$

在初中因为没有学过对数函数,所以,令
$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{y}=k \\
& \therefore x=k y .
\end{aligned}
$$ 带入 (3)式。

$$
\begin{aligned}
\therefore 3^{k y} & =2^6 \\
\left(3^y\right)^k & =2^6 \cdot \cdot \cdot (5) \\
\end{aligned}
$$
比较(4) (5)式知
$2^k=2^6$
所以$k=6$

$ \frac{x}{y}=6 $



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解答题 来源:2020年北京市中考数学试卷
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $\odot O$ 的半径为 $1, A, B$ 为 $\odot O$ 外两点, $A B=1$. 给出如下定义: 平移线段 $A B$, 得到 $\odot O$ 的弦 $A^{\prime} B^{\prime}$ ( $A^{\prime}, B^{\prime}$ 分别为点 $A, B$ 的对应点), 线段 $A A^{\prime}$ 长度的最小值称为线段 $A B$ 到 $\odot O$ 的 “平移距离”. (1) 如图, 平移线段 $A B$ 得到 $\odot O$ 的长度为 1 的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$, 则这两条弦的位置关 系是 \kh 在点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ 中, 连接点 $A$ 与点 的线段的长度等于线段 $A B$ 到 $\odot O$ 的 “平移距离”; (2) 若点 $A, B$ 都在直线 $y=\sqrt{3} x+2 \sqrt{3}$ 上, 记线段 $A B$ 到 $\odot O$ 的 “平移距离” 为 $d_{1}$, 求 $d_{1}$ 的最小值; (3) 若点 $A$ 的坐标为 $\left(2, \frac{3}{2}\right)$, 记线段 $A B$ 到 $\odot O$ 的 “平移距离” 为 $d_{2}$, 直接写出 $d_{2}$ 的 取值范围. [img=/uploads/2022/6ad87e.jpg,width=164px][/img]