求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
【答案】 原式 $ =\lim {x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\left(e^x+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}\right)-n}{n}\right]^{\frac{1}{x}} $

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\lim {x \rightarrow 0} \frac{\left(e^x-1\right)+\left(e^{2 x}-1\right)+\cdots+\left(e^{n x}-1\right)}{n x}=\frac{1}{n}[1+2+\cdots+n]
$

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=\frac{n(n+1)}{n 2}=\frac{n+1}{2}
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$ =e^{\frac{n+1}{2}}
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