题号:3323    题型:解答题    来源:B站 入库日期 2022/12/5 14:21:00
若直角三角形的三个边分别为$a,b,c$ 且满足 $ a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c} $,求三角形斜边上的高为多少
【答案】 解: 考虑等式的对称性,不妨令 $a \leq b < c$, 其中 $c$ 为斜边。 令 $a+\frac{1}{a}=k$,则 $a, b, c$ 是 $k+\frac{1}{k}=0$ 的根。
显然 $a=b$ 是其中一个根,而 $c$ 是另外一个根。
所以方程为等要直接三角形,因此 $c=\sqrt{2} a$
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\begin{aligned}
& a+\frac{1}{a}=c+\frac{1}{c} \Rightarrow a-c+\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=0 . \\
& \Rightarrow(a-c)\left(1-\frac{1}{a c}\right)=0 \quad \because a \neq c \Rightarrow a-c \neq 0 \\
& \Rightarrow a c=1 \Rightarrow a \cdot \sqrt{2} a=1 \quad a=2^{-\frac{1}{4}} \\
& \Rightarrow h=a \cdot \sin 45^{\circ}=2^{-\frac{1}{4}} \times 2^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{3}{4}} .
\end{aligned}
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