设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 是等比数列．已知 $a_1=4, b_1=6, b_2=2 a_2-2, b_3=2 a_3+4 .$

（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_1=1, c_n=$

$$
\left\{\begin{array}{l}
1,2^k < n < 2^{k+1} \\
b_k, n=2^k,
\end{array} \quad \text { 其中 } k \in \mathbf{N}^* .\right.
$$

（1）求数列 $\left\{a_{2^n}\left(c_{2^n}-1\right)\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\sum_{i=1}^n a_{2^i} c_{2^i}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．