证明导函数的介值性: 若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导且 $f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b) < 0$ ,则存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
【答案】 【参考解答】: 不妨设 $f_{+}^{\prime}(a) < 0, f_{-}^{\prime}(b) > 0$, 由单侧导数定义, 存在 $0 < \delta < \frac{b-a}{2}$ ,当 $a < x < a+\delta$ 时,有 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$ ,即 $f(x) < f(a)$ ;
同理,当 $b-\delta < x < b$ 时,有 $\frac{f(x)-f(b)}{x-b} > 0$ ,即 $f(x) < f(b)$.
由此可见,函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 的最小值不可能在端点 $a, b$ 上取 到,故在区间 $(a, b)$ 内存在最小值点 $\xi \in(a, b)$. 又函数 $f(x)$ 在区 间 $[a, b]$ 上可导,故由费马 (Fermat) 引理知 $f^{\prime}(\xi)=\mathbf{0}$.


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