一长为 $L$ 米的木梯靠在倾角为 $\frac{\pi}{3}$ 的光滑斜坡上,木梯的顶部距 离 $A$ 点 $h$ 米,底部距离 $A$ 点 $d$ 米,受重力作用木梯的顶部以 $a \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿直线 $B A$ 下滑,底部水平向右运动. 问: 当木梯的顶部和 底部与 $A$ 点的距离相等时,底部移动的水平速度为多少?
【答案】 【参考解答】: 设运动 $t$ 秒后,木梯的顶部距离 $A$ 点 $y(t) \mathrm{m}$ ,底部 距离 $A$ 点 $x(t) \mathrm{m}$ ,则
$$
\left[y(t) \sin \frac{\pi}{3}\right]^2+\left[x(t)+y(t) \cos \frac{\pi}{3}\right]^2=L^2
$$
即 $x^2(t)+y^2(t)+x(t) y(t)=L^2$. 方程两端分别对 $t$ 求导,得
$$
2 x(t) x^{\prime}(t)+2 y(t) y^{\prime}(t)+x(t) y^{\prime}(t)+x^{\prime}(t) y(t)=0 .
$$
由于 $y^{\prime}(t)=-a(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ , 因此当 $x(t)=y(t)$ 时,整理上式即得
$$
x^{\prime}(t)=a(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
$$


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