已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ,求 $\frac{d y}{d x}$ 及 $\frac{d^2 y}{d x^2}$.
【答案】 【参考解答】: 由参数方程求导公式,得
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x(t)}=\frac{\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{1}{2 t} ,
$$
由复合函数求导公式,得
$$
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\left(\frac{1}{2 t}\right)_x^{\prime}=-\frac{1}{2 t^2} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=-\frac{1}{2 t^2} \cdot \frac{1}{\frac{2 t}{1+t^2}}=-\frac{1+t^2}{4 t^3} .
$$


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