已知 $y=1+x e^{x y}$, 求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}$ 及 $\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}$.
【答案】 【参考解析】: 将 $x=0$ 代入已知等式,可得 $y=1$ ,对等式两端 关于 $x$ 求导,得
$$
y^{\prime}=e^{x y}+x e^{x y}\left(y+x y^{\prime}\right)
$$
代入 $x=0, y=1$ ,得 $y^{\prime}(0)=e^0=1$ ,即 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$. 再对上式 关于 $x$ 求导,得
$$
\begin{aligned}
&y^{\prime \prime}=e^{x y}\left(y+x y^{\prime}\right)+e^{x y}\left(y+x y^{\prime}\right) \\
&+x e^{x y}\left(y+x y^{\prime}\right)^2+x e^{x y}\left(2 y^{\prime}+x y^{\prime \prime}\right) \\
&\text { 代入 } x=0, y=1 \text { 及 } y^{\prime}(0)=1 \text { ,得 } y^{\prime \prime}(0)=2 \text { ,即 }\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=2 \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$


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