已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ,求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
【答案】 【参考解析】: 曲线的直角坐标参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=(1-\cos \theta) \cos \theta \\
y=(1-\cos \theta) \sin \theta
\end{array}\right.
$$
对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 的点的直角坐标为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$. 其切线的斜 率为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \theta}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}}=\left.\frac{\cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta}{-\sin \theta+\sin 2 \theta}\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=1$. 则切线方 程为 $y-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}$ , 即 $x-y-\frac{3 \sqrt{3}}{4}+\frac{5}{4}=0$ ; 法线方程为 $y-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=-\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}\right)$ , 即
$$
x+y-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}=0
$$


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