如图，锐角 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆，$B O$ 的延长线交边 $A C$ 于点 $D$ ．
（1）求证：$\angle B A C=2 \angle A B D$ ；
（2）当 $\triangle B C D$ 是等腰三角形时，求 $\angle A B D$ 的度数；
（3）记 $\triangle A B C 、 \triangle A B D 、 \triangle B C D$ 的面积分别为 $S 、 S_1 、 S_2$ ，且 $\frac{1}{S}+\frac{1}{S_2}=\frac{1}{S_1}$ ，
① 求 $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}$ 的值；
② 求 $\cos \angle B A C$ ．