设函数 $f(u)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, 且 $z=f\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2 x}\left(z+\mathrm{e}^x \cos y\right) .
$$
(I) 验证: $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=u$;
(II) 若 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$, 求出函数 $f(u)$ 的表达式.
【答案】 【解】
$$
\text { ( I ) } \begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &=\mathrm{e}^x \cos y \cdot f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right), \frac{\partial z}{\partial y}=-\mathrm{e}^x \sin y \cdot f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right) \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &=\mathrm{e}^x \cos y \cdot f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)+\mathrm{e}^{2 x} \cos ^2 y \cdot f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right) \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &=-\mathrm{e}^x \cos y \cdot f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)+\mathrm{e}^{2 x} \sin ^2 y \cdot f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)
\end{aligned}
$$

于是 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2 x} \cdot f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)$, 代人已知等式, 得
$$
\mathrm{e}^{2 x} \cdot f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)=\mathrm{e}^{2 x}\left(z+\mathrm{e}^x \cos y\right),
$$
记 $u=\mathrm{e}^x \cos y$, 上式为 $f^{\prime \prime}(u)=f(u)+u$, 即 $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=u$.

(II) 所得方程为二阶常系数非齐次线性微分方程, 对应的齐次方程的通解为 $y=C_1 \mathrm{e}^u+C_2 \mathrm{e}^{-u}$ ( $C_1, C_2$ 为任意常数);
设非齐次方程的特解为 $y^*=A u$, 代人方程解得 $A=-1$, 故非齐次方程的通解为
$$
f(u)=C_1 \mathrm{e}^u+C_2 \mathrm{e}^{-u}-u .
$$
将初始条件 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$ 代人通解, 可求得 $C_1=\frac{3}{2}, C_2=-\frac{1}{2}$, 所以
$$
f(u)=\frac{3}{2} \mathrm{e}^u-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-u}-u
$$


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