设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续,在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 若三个正 数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 证明: 存在三个互不相等的数 $\xi_i \in(0,1), i=1,2,3$, 使得
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\frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}+\frac{c}{f^{\prime}\left(\xi_3\right)}=1 .
$$
【答案】 【证明】因为 $f(0)=0, f(1)=1$, 且 $0 < a < a+b < 1$, 由介值定理, 存在 $x_1 \in(0,1)$, $x_2 \in\left(x_1, 1\right)$, 使得
$$
f\left(x_1\right)=a, \quad f\left(x_2\right)=a+b .
$$
由拉格朗日中值定理, 存在 $\xi_1 \in\left(0, x_1\right), \xi_2 \in\left(x_1, x_2\right), \xi_3 \in\left(x_2, 1\right)$, 使得
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\begin{aligned}
f\left(x_1\right)-f(0) &=a=f^{\prime}\left(\xi_1\right)\left(x_1-0\right), \\
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) &=b=f^{\prime}\left(\xi_2\right)\left(x_2-x_1\right), \\
f(1)-f\left(x_2\right) &=c=f^{\prime}\left(\xi_3\right)\left(1-x_2\right),
\end{aligned}
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整理得
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\frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}=x_1, \frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}=x_2-x_1, \frac{c}{f^{\prime}\left(\xi_3\right)}=1-x_2,
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三式相加, 得
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\frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}+\frac{c}{f^{\prime}\left(\xi_3\right)}=1
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