差分方程 $y_{x+1}-2 y_x=x 2^x$ 的通解为
【答案】 $y_x=C 2^x+\frac{1}{4} x(x-1) 2^x$ (C 为任意常数).

【解析】 由特征方程 $\lambda-2=0$, 得对应的齐次方程 $y_{x+1}-2 y_x=0$ 的通解为$$
y_x=C 2^x ;
$$
设差分方程的特解为 $y_x^*=x 2^x(A x+B)$, 代人方程得
$$
(x+1) 2^{x+1}[A(x+1)+B]-2 x 2^x(A x+B)=x 2^x,
$$
比较系数得 $A=\frac{1}{4}, B=-\frac{1}{4}$,故所求通解为
$$
y_x=C 2^x+\frac{1}{4} x(x-1) 2^x \text { (C 为任意常数). }
$$
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