设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,1)$,

令随机变量 $Z=X Y$, 则 $Z$ 的分布为
$ \text{A.} $ $N(-1,1)$. $ \text{B.} $ 与 $Y$ 同分布. $ \text{C.} $ $N(0,1)$. $ \text{D.} $ $N\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
【答案】 C

【解析】
$$
\begin{aligned}
F_Z(z) &=P\{Z \leqslant z\}=P\{X Y \leqslant z\}=P\{X Y \leqslant z, Y=-1\}+P\{X Y \leqslant z, Y=1\} \\
&=P\{X \geqslant-z, Y=-1\}+P\{X \leqslant z, Y=1\} \\
&=P\{X \geqslant-z\} P\{Y=-1\}+P\{X \leqslant z\} P\{Y=1\} \\
&=\frac{3}{5}[1-\Phi(-z)]+\frac{2}{5} \Phi(z)=\frac{3}{5} \Phi(z)+\frac{2}{5} \Phi(z)=\Phi(z) .
\end{aligned}
$$
即 $Z \sim N(0,1)$.
故应选 (C).
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