设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为单位向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=0, \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$, 则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$ \text{A.} $ $y_1^2+y_2^2$. $ \text{B.} $ $y_1^2-y_2^2$. $ \text{C.} $ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$. $ \text{D.} $ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
【答案】 A

【解析】 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}+\left(\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵, 由 $\boldsymbol{\alpha}$, $\boldsymbol{\beta}$ 均为单位向量, $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=0$, 知 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=1, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=0$, 于是
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)+\boldsymbol{\beta}\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)=2 \boldsymbol{\alpha}, \\
\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}\right)+\boldsymbol{\beta}\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}\right)=\boldsymbol{\beta},
\end{gathered}
$$

故 $\lambda_1=2, \lambda_2=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 又因为矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 的秩均为 1 , 所以
$$
r(\boldsymbol{A})=r\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \leqslant r\left(2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)+r\left(\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)=2 < 3,
$$
于是 $|\boldsymbol{A}|=0$, 故 $\lambda_3=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 从而 $f$ 的正惯性指数为 2 , 负惯性指数为 0 , 规范形为 $y_1^2+y_2^2$.
故应选 (A).
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