一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 $A_{i}=$＂第 i 次命中目标＂$(i=1,2,3)$ ，
$P\left(A_{1}\right)=\frac{1}{8}, \quad P\left(A_{i+1} \mid A_{i}\right)=2 P\left(A_{i}\right), \quad P\left(A_{i+1} \mid \overline{A_{i}}\right)=\frac{1}{8}(i=1,2)$ ，则 $P\left(A_{3}\right)=$ $\qquad$ ．