如图所示，间距为 $L$ 的光滑平行金属导轨，水平地放置在坚直向上且磁感应强度大小为 $B$ 的匀强磁场中，一端接阻值为 $R$ 的电阻。一有效电阻为 $r$ 、质量为 $m$ 的导体棒放置在导轨上，在外力 $F$ 作用下从 $t=0$ 时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为 $v=v_{ m } \sin \omega t$ ，不计导轨电阻。求：
（1）从 $t=0$ 到 $t=\frac{2 \pi}{\omega}$ 时间内，电阻 $R$ 上产生的热量；
（2）从 $t=0$ 到 $t=\frac{2 \pi}{\omega}$ 时间内，外力 $F$ 所做的功．