题号:2967    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma > 0)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差, 则下列选项正确的是
$A.$ $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|} \sim t(2)$. $B.$ $\frac{4(\bar{X}-1)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$. $C.$ $\frac{4(\bar{X}-1)^2}{S^2} \sim F(3,1)$. $D.$ $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2+\left(X_3-X_4\right)^2}{2 \sigma^2} \sim E\left(\frac{1}{2}\right)$.
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答案:
D

解析:

解 用排除法.
对于 $\mathrm{A}$, 由已知, 有
$$
X_1-X_2 \sim N\left(0,2 \sigma^2\right), X_3+X_4-2 \sim N\left(0,2 \sigma^2\right),
$$
故 $\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2} \sigma} \sim N(0,1), \frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2} \sigma} \sim N(0,1)$, 从而 $\left(\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2} \sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$, 且 $X_1-$ $X_2$ 与 $X_3+X_4-2$ 相互独立.

故 $\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2} \sigma} \mid \sqrt{\frac{\left(\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2} \sigma}\right)^2}{1}}=\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|} \sim t(1)$, 排除 A. 对于 $\mathrm{B}, \bar{X} \sim N\left(1, \frac{\sigma^2}{4}\right), \frac{\bar{X}-1}{\frac{\sigma}{2}} \sim N(0,1)$, 故 $\left(\frac{\bar{X}-1}{\frac{\sigma}{2}}\right)^2=\frac{4(\bar{X}-1)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$,
排除 B.
对于 $\mathrm{C}, \frac{(4-1) S^2}{\sigma^2}=\frac{3 S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(3), \frac{\frac{4(\bar{X}-1)^2}{\sigma^2}}{\frac{3 S^2}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{3}}=\frac{4(\bar{X}-1)^2}{S^2} \sim F(1,3)$, 排除 C. 故 D 正确.
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