题号:2966    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 4-x^2\right\}$, 向 $D$ 内随机投掷一点 $(X$, $Y)$, 记 $A=\{X \leqslant 1\}, B=\{Y \leqslant 3\}$, 则随机事件 $A, B$ 恰好有一个发生的概率为()
$A.$ $\frac{1}{16}$. $B.$ $\frac{7}{16}$. $C.$ $\frac{5}{16}$. $D.$ $\frac{3}{16}$.
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答案:
B

解析:

由已知, $(X, Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布, $D$ 如图 2-2 所示. 由于 $D$ 的面积为
$$
\int_0^2\left(4-x^2\right) \mathrm{d} x=\frac{16}{3},
$$
所以 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{3}{16}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
由于$$
\begin{gathered}
P(A)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{4-x^2} \frac{3}{16} \mathrm{~d} y=\frac{11}{16}, \\
P(B)=\int_0^3 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{4-y}} \frac{3}{16} \mathrm{~d} x=\frac{7}{8}, \\
P(A B)=P\{X \leqslant 1, Y \leqslant 3\}=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^3 \frac{3}{16} \mathrm{~d} y=\frac{9}{16},
\end{gathered}
$$
故所求概率为
$$
P(A \bar{B}+\bar{A} B)=P(A)+P(B)-2 P(A B)=\frac{7}{16} .
$$
B 正确.

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