题号:2964    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $\boldsymbol{b}=(3,2)^{\mathrm{T}}$, 线性方程组 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有通解 $k(-2,1)^{\mathrm{T}}+(3,-4)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{\beta}=(5$, $-10)^{\mathrm{T}}$ 是下列哪个方程组的解
$A.$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -10\end{array}\right)$ $B.$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$ $C.$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)$. $D.$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}9 \\ 6\end{array}\right)$.
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答案:
D

解析:

解 由已知 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有通解 $k\left(\begin{array}{c}-z \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right) \stackrel{\text { 记 }}{=} k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$, 将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}$ 线性表示, 再计算 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$.
设 $\boldsymbol{\beta}=k_1\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}-2 k_1+3 k_2=5, \\ k_1-4 k_2=-10,\end{array}\right.$ 解得 $k_1=2, k_2=3$.
故 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A}(2 \boldsymbol{\xi}+3 \boldsymbol{\eta})=\mathbf{0}+3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}=3\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}9 \\ 6\end{array}\right)$, D 正确.
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