题号:2961    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=1$ 处条件收敛, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ 存在, 则
$A.$ $a=1$. $B.$ $a=-1$. $C.$ $a < 1$ $D.$ $a > 1$.
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答案:
B

解析:

解 由已知, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛, 故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 不可能是正项级数或负项级数.
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$, 知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|a|$.
(1) 若 $|a| < 1$, 则由比值法知, $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛, 即 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收玫, 与已知矛盾, 故 $|a| \geqslant 1$.
(2) 若 $|a| > 1$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|a| > 1$, 所以当 $n$ 充分大时, $\left\{\left|a_n\right|\right\}$ 单调增加, 从而 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_n\right| \neq 0$, 即 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0$, 故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散, 与已知矛盾. 所以 $|a|=1$, 即 $a=1$ 或 $a=-1$.

(3) 若 $a=1$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, 所以当 $n$ 充分大时, $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 同为正值或负值, 这也与已 知矛盾, 故 $a=-1$, B 正确.
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