求函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\sin t, & |t| \leqslant \pi \\ 0, & |t|>\pi\end{array}\right.$ 的傅里叶变换，并证明积分等式

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega \pi \sin \omega t}{1-\omega^2} d \omega= \begin{cases}\frac{\pi}{2} \sin t, & |t| \leqslant \pi \\ 0, & |t|>\pi\end{cases}
$$